3.6 Propiedades de los determinantes

Los determinantes tiene muchas propiedades especiales, alguna de la cuales las enunciamos aquí:

• 
  Sea A una matriz cuadradaSi toda entrada en una fila (o columna) es cero entonces
• Si una matriz B se forma intercambiando dos fila (o columnas) de A, entonces
• Si una matriz B se forma multiplicando cada entrada en una fila ( o columna) de A por un número real k, entonces[B]=k[A].
• Si dos filas (o columnas) de una matriz A son iguales, entonces
• Si una matriz B se forma remplazando cualquier fila (o columna) de A por la suma de esa fila (o columna) y k veces cualquier otra fila (o columna) de A, entonces

Ejemplos:-

Sin desarrollas de deduce “Si toda entrada en una fila (o columna) es cero entonces

- Se deduce “Si una matriz B se forma intercambiando dos fila (o columnas) de A, entonces

- Se factoriza dos de cada entrada de la primera fila “Si una matriz B se forma multiplicando cada entrada en una fila ( o columna) de A por un número real k, entonces

- Como la primera y segunda columna son iguales entonces se deduce “Si dos filas (o columnas) de una matriz A son iguales, entonces

3.7 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta

Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso contrario recibe el nombre de singular.

Propiedades de la inversión de matrices

• La matriz inversa, si existe, es única
• A-1A=A·A-1=I
• (A·B) -1=B-1A-1
• (A-1) -1=A
• (kA) -1=(1/k·A-1
• (At) –1=(A-1) t
  

Observación

Podemos encontrar matrices que cumplen A·B = I, pero que B·A¹ I, en tal caso, podemos decir que A es la inversa de B "por la izquierda" o que B es la inversa de A "por la derecha".

Hay varios métodos para calcular la matriz inversa de una matriz dada:

• 
  Directamente (Ejemplo)
• Usando determinantes
• Por el método de Gauss-Jordan

Dada la matriz buscamos una matriz que cumpla A·A-1 = I, es decir

Para ello planteamos el sistema de ecuaciones:

La matriz que se ha calculado realmente sería la inversa por la "derecha", pero es fácil comprobar que también cumple A-1 ·A = I, con lo cual es realmente la inversa de A.

3.8 Solución de un sistema de ecuaciones lineales a través de la adjunta

Sea A una matriz cuadrada no singular, es decir, que su determinante sea diferente de cero, Por definición de matriz inversa, se tiene que es la inversa de Asi: Haciendo y sustituyendo en la ecuación anterior, se obtiene

A X=(14)

Puede considerarse que esta ecuación matricial representa un sistema de ecuaciones simultáneas, en donde no hay un solo vector de términos independientes sino n, los n vectores básicos que forman la matriz unitaria I. Además, no existe un solo vector de incógnitas, sino n, los que corresponden a cada columna de la matriz unitaria. Por lo anterior, es posible determinar la inversa de una matriz con el método de Gauss-Jordan de eliminación completa. Para lograrlo, bastará con aplicar las operaciones elementales sobre los renglones de la matriz ampliada (A, I) de manera de transformar A en I. Cuando se haya hecho, se obtendrá la matriz ampliada con lo que se tendrá la inversa buscada.

EJEMPLO

Invertir la matriz

Auméntese la matriz de coeficientes con una matriz identidad

Usando a11 como pivote, el renglón 1 se normaliza y se usa para eliminar a X1 de los otros renglones.

En seguida, se usa a22 como pivote y X2 se elimina de los otros renglones.




Finalmente, se usa a33 como pivote y X3 se elimina de los renglones restantes:



Por lo tanto, la inversa es:

Se puede resolver un sistema de ecuaciones con la inversa de la matriz de coeficientes, de la siguiente manera:

donde C es el vector de términos independientes.

Comparando ambos métodos, es evidente que el método de inversión de matrices no es práctico para la solución de un sólo conjunto (o dos o tres conjuntos) de ecuaciones simultáneas, porque la cantidad de cálculos que intervienen para determinar la matriz inversa es muy grande. Sin embargo, si se desea resolver 20 conjuntos de 10 ecuaciones simultáneas que difieren únicamente en sus términos independientes, una matriz aumentada que contiene 20 columnas de constantes (que se utilizarían en el método de eliminación) sería difícil de reducir, y se podría usar con ventaja el método de inversión de matrices.

3.9 Solución de un sistema de ecuaciones por la regla de Cramer

La regla de Cramer, que ahora veremos, aprovecha con astucia las propiedades de las matrices y sus determinantes para despejar, separada mente, una cualquiera de las incógnitas de un sistema de ecuaciones lineales.

Sistema de Cramer. Es un sistema en el que: m=n y [A]…0. Es decir: La matriz A es cuadrada y regular. En tal caso, A tiene inversa A-1, por lo que multiplicando [2] por la izquierda por A -1:

que son las fórmulas de Cramer, las cuales se recogen en la siguiente regla:


Regla de Cramer. El valor de la incógnita xj en un sistema de Cramer es una fracción, cuyo numerador es undeterminante que se ob tiene al reemplazar la columna j por la columna que forman los términos independientes, y cuyo denominador .

3.10 Aplicación de Matrices y Determinantes

APLICACIONES DE MATRICES

Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasificar valores numéricos atendiendo a dos criterios o variables.

Ejemplo: Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F). Todos ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en euros) indicado por la tabla siguiente:

Sabiendo que en un año se venden el siguiente número de paquetes:

Resumir la información anterior en 2 matrices A y B, de tamaño respectivo 2x3 y 3x2 que recojan las ventas en un año (A) y los precios (B). Nos piden que organicemos la información anterior en dos matrices de tamaño concreto. Si nos fijamos en las tablas, es sencillo obtener las matrices:

Estas matrices se denominan matrices de información, y simplemente recogen los datos numéricos del problema en cuestión.

Otras matrices son las llamadas matrices de relación, que indican si ciertos elementos están o no relacionados entre sí. En general, la existencia de relación se expresa con un 1 en la matriz y la ausencia de dicha relación de expresa con un 0.

Estas matrices se utilizan cuando queremos trasladar la información dada por un grafo y expresarla numéricamente.

En Matemáticas, un grafo es una colección cualquiera de puntos conectados por líneas.

Existen muchos tipos de grafos. Entre ellos, podemos destacar:

* Grafo simple: Es el grafo que no contiene ciclos, es decir, líneas que unan un punto consigo mismo, ni líneas paralelas, es decir, líneas que conectan el mismo par de puntos.

* Grafo dirigido: Es el grafo que indica un sentido de recorrido de cada línea, mediante una flecha.

Estos tipos de grafo pueden verse en la figura:

Figura 6.1: Grafo, Grafo simple y Grafo dirigido.

Relacionadas con los grafos se pueden definir algunas matrices. Entre todas ellas, nosotros nos fijaremos en la llamada matriz de adyacencia, que es aquella formada por ceros y unos exclusivamente, de tal forma que:

* un 1 en el lugar (i,j) expresa la posibilidad de ir desde el punto de la fila i hasta el punto de la columna j mediante una línea que los una directamente.

* un 0 en el lugar (i,j) expresa la imposibilidad de ir del primer punto al segundo mediante una línea que los una directamente. La matriz de adyacencia del grafo dirigido de la figura anterior será:

APLICACIONES DE LOS DETERMINANTES

UNIDAD II: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

2.1 Definición de Sistemas de Ecuaciones Lineales

En matemática y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

2.2 Clasificación de los Sistemas de Ecuaciones Lineales y Tipos de Solución

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:

• Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.
  
• Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:
• Sistema compatible determinado cuando tiene un número finito de soluciones.
• Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.

Quedando así la clasificación:

Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:

Sistemas compatibles indeterminados

Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:

Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es -0,5y que pasa por el punto (-1,1), por lo que ambas intersectan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.

En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como función matemática del resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.

Una condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matriz del sistema sea cero (y por tanto uno de sus autovalores será 0):

De hecho, de las dos condiciones anteriores se desprende, que el conjunto de soluciones de un sistema compatible indeterminado es un subespacio vectorial. Y la dimensión de ese espacio vectorial coincidirá con la multiplicidad geométrica del autovalor cero.

Sistemas incompatibles

De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución. Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:

Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.

Matemáticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condición necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero:

Aquí les dejo un link donde podrán encontrar un Archivo pdf con los Tipos de Solución. Espero lo chequen y sea de su Agrado.

http://www.math.com.mx/docs/sec/sec_0014_Sistemas_Lineales.pdf