4.3 Propiedades de vectores, combinación lineal, dependencia e independencia lineal.

Propiedades de los vectores

TEOREMA 1

Consideremos el vector yentonces

1.-
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EJEMPLO

Combinación lineal

Un vector x se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores

si existe una forma de expresarlo como suma de parte o todos los vectores de A multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalarde forma que:

Así, x es combinación lineal de vectores de A si podemos expresar como una suma de múltiplos de una cantidad finita de elementos de A.

Ejemplo: 2x + 3y − 2z = 0. Se dice que z es combinación lineal de x y de y, porque podemos escribir sin más que despejar la z. De la misma manera, despejando oportunamente, cada una de estas variables se podría expresar como combinación lineal de las otras dos.

En otras palabras, cuánto de cada vector del conjunto A necesito para que, cuando se combinen linealmente dichos elementos , pueda formar al vector en cuestión.

Dependencia e independencia lineal

Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Propiedades

1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores sonlinealmente dependientes.

2.Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.

3.Dos vectores libres del plano = (u₁, u₂) y = (v₁, v₂) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

a₁ = a₂ = ··· = a_n = 0

Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componente no son proporcionales.

4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial

Base.

Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.

Propiedades de las bases

1.- Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).

2.- Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible).

3.- Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.

Dimensión.

Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo número de vectores. Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio.

Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores independientes que podemos tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el máximo rango que puede tener un Es también el rango de cualquier sistema generador de dicho espacio.

Propiedades de la dimensión.

• Significado físico de la dimensión: el espacio tiene dimensión 3, los planos dimensión 2, las rectas dimensión 1, el punto dimensión 0. El subespacio {0} es el único de dimensión 0.

• Número de parámetros libres en su forma paramétrica. (1 parámetro=recta, 2 parámetros= plano...)La dimensión de un subespacio en ℜⁿ, coincide con el

• Si S y T son subespacios y S está contenido en T, entonces dim S dim T.≤ Además, si se da la igualdad, dim S = dim T, entonces ambos espacios han de coincidir.
• El rango de una familia de vectores, es igual a la dimensión del subespacio que generan.

Teorema

Sea S un espacio o subespacio de dimensión m. Entonces,

• Si tenemos m vectores linealmente indep. en S, también serán sistema generador de S.

• Si tenemos m vectores que generan S, también serán linealmente independientes.

Por tanto, si tenemos un conjunto formado por tantos vectores como indica la dimensión, dichos vectores serán a la vez linealmente independientes y sistema generador, o bien ninguna de las dos cosas.

Así pues, para probar que son base, bastaría probar solamente una de las dos cosas: que son linealmente independientes, o que son sistema generador.

Esto solamente se puede aplicar cuando conocemos la dimensión del espacio y cuando tenemos tantos vectores como indica la dimensión.

Teorema.

En un espacio o subespacio de dimensión m,

• un conjunto de más de m vectores nunca puede ser linealmente independiente.

• un conjunto de menos de m vectores nunca puede ser sistema generador.

Así pues, por ejemplo, 3 vectores en ℜ² podrán ser o no sistema generador de ℜ², pero nunca podrán ser linealmente independientes.

Del mismo modo, 2 vectores en ℜ³ podrán ser linealmente independientes o no, pero nunca serán sistema generador de ℜ³ (aunque sí podrán serlo de un subespacio más pequeño).

4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades

Definición. El espacio vectorial complejo V se conoce como un espacio con producto interior si para cualquier par de vectores u y v en V, existe un único número complejo (u, v), llamado el producto interior de u y v, tal que si u, v y w están en V y si α ∈ C, entonces

Propiedades

i. (v, v) ≥ 0

ii. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.

iii, (u, v +w) = (u, v)+ (u, w)

iv. (u + v, w) = (u, w)+(v, w)

v. (u, v) = (v, u)

vi. (αu, v) = α(u, v)

vii. (u, αv) = α(u, v)

La barra en las condiciones (v) y (vii) denota el conjugado complejo.

4.6 cambio de base, base ortonormal, proceso de ortonormalización Gram-Schmidt.

Cambio de base

El cambio de base consiste en conocidas las coordenadas de un vector respecto a una base B, encontrar las coordenadas de dicho vector con respecto a otra base B’.

TEOREMA 4.10 (La inversa de la matriz de transición).

Si P es la matriz de transición de una base B a una base B’ en , entonces P es invertible y la matriz de transición de B’a B es .

TEOREMA 4.11 (Matriz de transición de una base B a una base B’).

Seanydos bases de Rⁿ, entonces la matriz de transición P^-1 de B a B’ puede determinarse mediante eliminación de Gauss – Jordan en la matriz como se muestra a continuación

En la matriz B’ representa la matriz que tiene por columnas las componentes de los vectores de la base B’ respectivamente, de forma similar B representa la matriz que tiene por columnas las componentes de los vectores de la base B respectivamente.

Base ortonormal

En álgebra lineal, una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de Hilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria. Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto por un escalar apropiado y de hecho, esta es la forma habitual en la que se obtiene una base ortonormal: por medio de una base ortogonal.

Así, una base ortonormal es una base ortogonal, en la cual la norma de cada elemento que la compone es unitaria.

Estos conceptos son importantes tanto para espacios de dimensión finita como de dimensión infinita. Para espacios de dimensión finita, la condición de span denso es la misma que la de 'span', como se usa en álgebra lineal.

Una base ortonormal por lo general no es una "base", es decir, en general no es posible escribir a cada elemento del espacio como una combinación lineal de un número finito de elementos de la base ortonormal. En el caso de dimensión infinita, esta distinción cobra importancia: la definición dada requiere solo que el span de una base ortonormal sea densa en el espacio vectorial, y no que iguale al espacio entero.

Una base ortonormal de un espacio vectorial V no tiene sentido si el espacio no posee un producto interno. Un Espacio de Banach no tendrá una base ortonormal a no ser que sea unespacio de Hilbert.

Proceso de ortonormalización Gram – Schmidt

El proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt de álgebra lineal es un proceso utilizado en matemática y análisis numérico, para ortogonalizar un conjunto de vectores en un espacio prehilbertiano, más comúnmente el espacio euclídeo Rn. Ortogonalización en este contexto significa lo siguiente: comenzamos con vectores v1,…, vk los cuales son linealmente independientes y queremos encontrar mutuamente vectores ortogonales u1, …, uk los cuales generan el mismo subespacio que los vectores v1, …, vk.

Este proceso lleva el nombre en honor a Jørgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt. Proceso de Gram–Schmidt Definimos el operador proyección condonde los corchetes angulares representan el producto interior, proyecta el vector v ortogonalmente en el vector u. Antes de ver el proceso, debemos comprender el porqué de la definición de proyección. Si recordamos la definición de producto escalar, tenemos para el caso del numerador, módulo de u por módulo de v por el coseno del ángulo que forman.

En el denominador tenemos módulo de u por módulo de u, ya que el coseno sería 1. Si separamos los dos módulos de u en el denominador, vemos que a la izquierda tenemos únicamente “módulo de v * cos (ángulo que forman)”, lo que nos da claramente el módulo del vector proyección. Teniendo el módulo del vector proyección lo único que debemos hacer es asignarle una dirección, cosa que hacemos multiplicándolo por u/módulo(u), lo que es el vector de módulo 1 con dirección u (el vector unitario).

DETERMINANTES-METODO MENORES Y COFACTORES-

EJERCICIOS RESUELTOS

Biografía de Gabriel Cramer

Gabriel Cramer (31 de julio, 1704 - 4 de enero, 1752) fue un matemático Suizo nacido en Ginebra. Profesor de matemáticas de la Universidad de Ginebra durante el periodo 1724-27. En 1750 ocupó la cátedra de filosofía en dicha universidad. En 1731 presentó ante la Academia de las Ciencias de París, una memoria sobre las múltiples causas de la inclinación de las órbitas de los planetas.

Editó las obras de Jean Bernouilli (1742) y Jacques Bernouilli (1744) y el Comercium epistolarum de Leibniz. Su obra fundamental fue la "Introduction à l’analyse des courbes algébriques" (1750), en la que se desarrolla la teoría de las curvas algégricas según los principios newtonianos, demostrando que una curva de grado n viene dada por la expresión:

Reintrodujo el determinante, algoritmo que Leibniz ya había utilizado al final del siglo XVII para resolver sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas. Editó las obras de Jakob Bernoulli y parte de la correspondencia de Leibniz.

Regla de Cramer

La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752).

Si es un sistema de ecuaciones. A es la matriz de coeficientes del sistema, es el vector columna de las incógnitas y es el vector columna de los términos independientes.