Biografía de Gabriel Cramer

Gabriel Cramer (31 de julio, 1704 - 4 de enero, 1752) fue un matemático Suizo nacido en Ginebra. Profesor de matemáticas de la Universidad de Ginebra durante el periodo 1724-27. En 1750 ocupó la cátedra de filosofía en dicha universidad. En 1731 presentó ante la Academia de las Ciencias de París, una memoria sobre las múltiples causas de la inclinación de las órbitas de los planetas.

Editó las obras de Jean Bernouilli (1742) y Jacques Bernouilli (1744) y el Comercium epistolarum de Leibniz. Su obra fundamental fue la "Introduction à l’analyse des courbes algébriques" (1750), en la que se desarrolla la teoría de las curvas algégricas según los principios newtonianos, demostrando que una curva de grado n viene dada por la expresión:

Reintrodujo el determinante, algoritmo que Leibniz ya había utilizado al final del siglo XVII para resolver sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas. Editó las obras de Jakob Bernoulli y parte de la correspondencia de Leibniz.

Regla de Cramer

La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752).

Si es un sistema de ecuaciones. A es la matriz de coeficientes del sistema, es el vector columna de las incógnitas y es el vector columna de los términos independientes.

UNIDAD III: MATRICES Y DETERMINANTES

3.1 DEFINICIÓN DE MATRIZ, NOTACIÓN, ORDEN.

DEFINICION: Se llama MATRIZ a todo cuadro de números distribuidos en filas y columnas.

NOTACION: Generalmente, una matriz se nombra por una letra mayúscula y sus elementos, una vez distribuidos en las filas y columnas respectivas, se encierran con corchetes o con paréntesis, así:

o así

En estas notas usaremos preferentemente los corchetes.

ELEMENTO GENERICO

El símbolo "aij", llamado elemento genérico de una matriz, se usa para indicar que el elemento por él designado ocupa el lugar correspondiente a la fila "i" y a la columna "j".

En consecuencia, una anotación del tipo "a23" debe interpretarse que se trata del elemento "a", que ocupa el lugar correspondiente a la fila 2 y a la columna 3.

OTRA NOTACION DE UNA MATRIZ

Para el caso de una matriz A con m filas y n columnas, se debe entender que i varía desde 1 hasta m y que j varía desde 1 hasta n (siendo i y j variables en el conjunto de los números naturales).

Por ello, otra forma de anotar una matriz A, de m filas y n columnas, que tiene como elemento genérico a aij, es:

Amxn = (aij) (i= 1, 2, ..., m; j= 1, 2, ..., n)

asi la matriz

puede anotarse de esta forma:

A4x3 = (aij) (i= 1, 2, 3, 4; j= 1, 2, 3)

ORDEN DE UNA MATRIZ

El orden de una matriz es el número de filas y de columnas que tiene esa matriz.

Si el número de filas de una matriz A es "m" y el de columnas es "n", se suele anotar Amxn, leyéndose "matriz A de orden m por n".

3.2 Operaciones con Matrices

SUMA Y RESTA DE MATRICES

La suma de dos matrices y de la misma dimensión, es otra matriz de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico .

Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión. La suma de las matrices A y B se denota por A+B.

Las propiedades de la suma de matrices son:

• A+(B+C)=(A+B)+C (propiedad asociativa)
• A+B=B+A(propiedad conmutativa)
• A+0=A(0 es la matriz nula)
• La matriz - A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A+(-A)=0.

La resta de matrices A y B se representa por A-B, y se define como: A-B=A+(-B)

suma

resta

Suma y resta de matriz A, B.

PRODUCTO DE MATRICES

Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplacando las filas de A por las columnas de B. Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p , la matriz P será de orden m x p .

De manera más formal, los elementos de P son de la forma:

Algunas propiedades del producto de matrices son:

• Ax(BxC)=(AxB) x C
• El producto de matrices en general no es conmutativo.
• Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que AxB=BxA=In . Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por .
• Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene AxIn=InxA=A .
• El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A x (B+C)= A x B + A x C.
  

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

El producto de una matriz por un número real k es otra de la misma dimensión que A y tal que cada elemento de B se obtiene multiplicando por k, es decir,

El producto de la matriz A por el número real k se designa por Al número real k se le llama también escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices.

Algunas propiedades del producto de una matriz por un escalar son las siguientes:

• k(A+B)=kA+kB (1ra propiedad distributiva)
• (k+h)A=kA+hA(2da propiedad distributiva)
• k[hA]=(kh)A (propiedad asociativa mixta)
• 1A=A(elemento unidad)
  
  De forma similar se define la suma y la diferencia de una matriz por un escalar.
  
  

TRASPOSICIÓN DE MATRICES

Dada una matriz de orden m x n, , se llama matriz traspuesta de A, y se representa por a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A.

Es decir:

Algunas propiedades de la trasposición de matrices son:

Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.

EJERCICIOS RESUELTOS, OPERACIONES CON MATRICES

EXPLICACACIÓN DE OPERACIONES CON MATRICES

3.3 Clasificación de la matrices

Triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros

Diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Identidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Potencia

Se llama potencia k-ésima de una matriz cuadrada A, donde k OE Õ, un entero positivo, al producto de A por sí misma, repetido k veces.

Ak =A⋅A⋅A⋅......k veces ...... ⋅A

Se conviene en que:

A- k = (A- 1) k " k OE Õ

A0 = I

Periodica

si . Si p es el menor número natural que satisface , entonces decimos que A es una matriz periódica de período

Nilpotente

Si A es una matriz cuadrada y Ak = 0 para algún número natural k, se dice que A es nilpotente. Si k es tal que Ak −1 ≠ 0 y Ak = 0, se dice que A es nilpotente de orden k.

Idempotente

Una matriz, A, es idempotente si:

A2 = A.

Involutiva

Una matriz, A, es involutiva si:

A2 = I.

Traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A · B)t = Bt · At

Simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = At.

Antisimetrica

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = -At.

Compleja

Sus elementos son números complejos aij e ¬

Conjugada

Matriz conjugada de una matriz A Aquella que se obtiene sustituyendo cada elemento por su complejo conjugado (igual parte real, pero la parte imaginaria cambiada de signo)

Hermitiana o hermitica

Una matriz hermitiana (o hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j:

o, escrita con la traspuesta conjugada A*:

Por ejemplo,

es una matriz hermítica.

Antihermitiana

una Matriz antihermitiana es una matriz cuadrada cuya traspuesta conjugada es menos la matriz. Esto es si satisface a la relación:

A * = -A

o en su forma componente, si (A = ai,j):

Para todas las i y las j.

Ortogonal

Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible : A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.