UNIDAD III: MATRICES Y DETERMINANTES

3.1 DEFINICIÓN DE MATRIZ, NOTACIÓN, ORDEN.

DEFINICION: Se llama MATRIZ a todo cuadro de números distribuidos en filas y columnas.

NOTACION: Generalmente, una matriz se nombra por una letra mayúscula y sus elementos, una vez distribuidos en las filas y columnas respectivas, se encierran con corchetes o con paréntesis, así:

o así

En estas notas usaremos preferentemente los corchetes.

ELEMENTO GENERICO

El símbolo "aij", llamado elemento genérico de una matriz, se usa para indicar que el elemento por él designado ocupa el lugar correspondiente a la fila "i" y a la columna "j".

En consecuencia, una anotación del tipo "a23" debe interpretarse que se trata del elemento "a", que ocupa el lugar correspondiente a la fila 2 y a la columna 3.

OTRA NOTACION DE UNA MATRIZ

Para el caso de una matriz A con m filas y n columnas, se debe entender que i varía desde 1 hasta m y que j varía desde 1 hasta n (siendo i y j variables en el conjunto de los números naturales).

Por ello, otra forma de anotar una matriz A, de m filas y n columnas, que tiene como elemento genérico a aij, es:

Amxn = (aij) (i= 1, 2, ..., m; j= 1, 2, ..., n)

asi la matriz

puede anotarse de esta forma:

A4x3 = (aij) (i= 1, 2, 3, 4; j= 1, 2, 3)

ORDEN DE UNA MATRIZ

El orden de una matriz es el número de filas y de columnas que tiene esa matriz.

Si el número de filas de una matriz A es "m" y el de columnas es "n", se suele anotar Amxn, leyéndose "matriz A de orden m por n".

3.2 Operaciones con Matrices

SUMA Y RESTA DE MATRICES

La suma de dos matrices y de la misma dimensión, es otra matriz de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico .

Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión. La suma de las matrices A y B se denota por A+B.

Las propiedades de la suma de matrices son:

• A+(B+C)=(A+B)+C (propiedad asociativa)
• A+B=B+A(propiedad conmutativa)
• A+0=A(0 es la matriz nula)
• La matriz - A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A+(-A)=0.

La resta de matrices A y B se representa por A-B, y se define como: A-B=A+(-B)

suma

resta

Suma y resta de matriz A, B.

PRODUCTO DE MATRICES

Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplacando las filas de A por las columnas de B. Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p , la matriz P será de orden m x p .

De manera más formal, los elementos de P son de la forma:

Algunas propiedades del producto de matrices son:

• Ax(BxC)=(AxB) x C
• El producto de matrices en general no es conmutativo.
• Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que AxB=BxA=In . Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por .
• Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene AxIn=InxA=A .
• El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A x (B+C)= A x B + A x C.
  

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

El producto de una matriz por un número real k es otra de la misma dimensión que A y tal que cada elemento de B se obtiene multiplicando por k, es decir,

El producto de la matriz A por el número real k se designa por Al número real k se le llama también escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices.

Algunas propiedades del producto de una matriz por un escalar son las siguientes:

• k(A+B)=kA+kB (1ra propiedad distributiva)
• (k+h)A=kA+hA(2da propiedad distributiva)
• k[hA]=(kh)A (propiedad asociativa mixta)
• 1A=A(elemento unidad)
  
  De forma similar se define la suma y la diferencia de una matriz por un escalar.
  
  

TRASPOSICIÓN DE MATRICES

Dada una matriz de orden m x n, , se llama matriz traspuesta de A, y se representa por a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A.

Es decir:

Algunas propiedades de la trasposición de matrices son:

Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.

EJERCICIOS RESUELTOS, OPERACIONES CON MATRICES

EXPLICACACIÓN DE OPERACIONES CON MATRICES

3.3 Clasificación de la matrices

Triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros

Diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Identidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Potencia

Se llama potencia k-ésima de una matriz cuadrada A, donde k OE Õ, un entero positivo, al producto de A por sí misma, repetido k veces.

Ak =A⋅A⋅A⋅......k veces ...... ⋅A

Se conviene en que:

A- k = (A- 1) k " k OE Õ

A0 = I

Periodica

si . Si p es el menor número natural que satisface , entonces decimos que A es una matriz periódica de período

Nilpotente

Si A es una matriz cuadrada y Ak = 0 para algún número natural k, se dice que A es nilpotente. Si k es tal que Ak −1 ≠ 0 y Ak = 0, se dice que A es nilpotente de orden k.

Idempotente

Una matriz, A, es idempotente si:

A2 = A.

Involutiva

Una matriz, A, es involutiva si:

A2 = I.

Traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A · B)t = Bt · At

Simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = At.

Antisimetrica

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = -At.

Compleja

Sus elementos son números complejos aij e ¬

Conjugada

Matriz conjugada de una matriz A Aquella que se obtiene sustituyendo cada elemento por su complejo conjugado (igual parte real, pero la parte imaginaria cambiada de signo)

Hermitiana o hermitica

Una matriz hermitiana (o hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j:

o, escrita con la traspuesta conjugada A*:

Por ejemplo,

es una matriz hermítica.

Antihermitiana

una Matriz antihermitiana es una matriz cuadrada cuya traspuesta conjugada es menos la matriz. Esto es si satisface a la relación:

A * = -A

o en su forma componente, si (A = ai,j):

Para todas las i y las j.

Ortogonal

Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible : A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.

3.4 Cálculo de la inversa de una matriz

Sabemos ya multiplicar matrices y hemos visto algunas de las propiedades de esta operación. Recordemos, en primer lugar, que no siempre es posible efectuar la multiplicación de dos matrices, y en segundo lugar, que aunque sea posible hacer esta multiplicación, en general no es conmutativo, es decir A·B es distinto de B·A.

En el caso particular de que tratemos con matrices cuadradas del mismo orden A y B, es claro que podemos efectuar los productos A·B y B·A, que darán como resultado otra matriz del mismo orden, aunque, como ya se ha dicho, las matrices resultantes serán, en general, distintas.

Sabemos también que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad In. Por analogía con el caso de los números reales, podemos plantearnos la siguiente cuestión:

Si tenemos un número real, por ejemplo el 2, podemos interesarnos en buscar el inverso del 2 para el producto, es decir un número real x tal que 2·x = 1, el producto de 2 por x sea igual al elemento neutro, el 1.

Evidentemente, en el caso de los números reales es bien fácil despejar x para obtener, en nuestro caso, que x =12, es decir, el inverso de un número real es otro número que multiplicado por ´el da el elemento neutro, el 1.

Todo número real, salvo el 0, tiene inverso.

Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada A de orden n, cualquiera, existe su inversa X para el producto de matrices, tal que A ・ X = In es decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad In. Sin embargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los números reales:

1) No podemos “despejar” la matriz X del modo X = In A, porque no hemos definido la división de matrices.

2) No todas las matrices cuadradas no nulas tienen matriz “inversa” (sea lo que sea, por analogía con los números).

Definamos, en primer lugar, el término de matriz inversa:

Dada una matriz cuadrada de orden n , A, se dice que A es invertible (o que posee inversa o que es no singular o que es regular ), si existe otra matriz del mismo orden, denominada matriz inversa de A y representada por A−1 y tal que:

A ・ A−1 = In y A−1 ・ A = In

Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible.
Si una matriz tiene inversa, dicha matriz inversa es única (sólo hay una).

3.5 Definición de determinante de una matriz

El determinante de una matriz determina si los sistemas son singulares o mal condicionados. En otras palabras, sirve para determinar la existencia y la unicidad de los resultados de los sistemas de ecuaciones lineales.

• El determinante de una matriz es un número.
• Un determinante con valor de cero indica que se tiene un sistema singular.
• Un determinante con valor cercano a cero indica que se tiene un sistema mal condicionado.

Un sistema singular es cuando en el sistema de ecuaciones se tiene a más de una ecuación con el mismo valor de la pendiente. Por ejemplo ecuaciones que representan líneas paralelas o ecuaciones que coinciden en los mismos puntos de graficación.

En un sistema mal condicionado es difícil identificar el punto exacto en que las líneas de las ecuaciones se interceptan.