3.2 Operaciones con Matrices

SUMA Y RESTA DE MATRICES

La suma de dos matrices y de la misma dimensión, es otra matriz de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico .

Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión. La suma de las matrices A y B se denota por A+B.

Las propiedades de la suma de matrices son:

• A+(B+C)=(A+B)+C (propiedad asociativa)
• A+B=B+A(propiedad conmutativa)
• A+0=A(0 es la matriz nula)
• La matriz - A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A+(-A)=0.

La resta de matrices A y B se representa por A-B, y se define como: A-B=A+(-B)

suma

resta

Suma y resta de matriz A, B.

PRODUCTO DE MATRICES

Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplacando las filas de A por las columnas de B. Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p , la matriz P será de orden m x p .

De manera más formal, los elementos de P son de la forma:

Algunas propiedades del producto de matrices son:

• Ax(BxC)=(AxB) x C
• El producto de matrices en general no es conmutativo.
• Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que AxB=BxA=In . Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por .
• Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene AxIn=InxA=A .
• El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A x (B+C)= A x B + A x C.
  

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

El producto de una matriz por un número real k es otra de la misma dimensión que A y tal que cada elemento de B se obtiene multiplicando por k, es decir,

El producto de la matriz A por el número real k se designa por Al número real k se le llama también escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices.

Algunas propiedades del producto de una matriz por un escalar son las siguientes:

• k(A+B)=kA+kB (1ra propiedad distributiva)
• (k+h)A=kA+hA(2da propiedad distributiva)
• k[hA]=(kh)A (propiedad asociativa mixta)
• 1A=A(elemento unidad)
  
  De forma similar se define la suma y la diferencia de una matriz por un escalar.
  
  

TRASPOSICIÓN DE MATRICES

Dada una matriz de orden m x n, , se llama matriz traspuesta de A, y se representa por a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A.

Es decir:

Algunas propiedades de la trasposición de matrices son:

Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.