3.3 Clasificación de la matrices

Triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros

Diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Identidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Potencia

Se llama potencia k-ésima de una matriz cuadrada A, donde k OE Õ, un entero positivo, al producto de A por sí misma, repetido k veces.

Ak =A⋅A⋅A⋅......k veces ...... ⋅A

Se conviene en que:

A- k = (A- 1) k " k OE Õ

A0 = I

Periodica

si . Si p es el menor número natural que satisface , entonces decimos que A es una matriz periódica de período

Nilpotente

Si A es una matriz cuadrada y Ak = 0 para algún número natural k, se dice que A es nilpotente. Si k es tal que Ak −1 ≠ 0 y Ak = 0, se dice que A es nilpotente de orden k.

Idempotente

Una matriz, A, es idempotente si:

A2 = A.

Involutiva

Una matriz, A, es involutiva si:

A2 = I.

Traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A · B)t = Bt · At

Simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = At.

Antisimetrica

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = -At.

Compleja

Sus elementos son números complejos aij e ¬

Conjugada

Matriz conjugada de una matriz A Aquella que se obtiene sustituyendo cada elemento por su complejo conjugado (igual parte real, pero la parte imaginaria cambiada de signo)

Hermitiana o hermitica

Una matriz hermitiana (o hermítica) es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada. Es decir, el elemento en la i-ésima fila y j-ésima columna es igual al conjugado del elemento en la j-ésima fila e i-ésima columna, para todos los índices i y j:

o, escrita con la traspuesta conjugada A*:

Por ejemplo,

es una matriz hermítica.

Antihermitiana

una Matriz antihermitiana es una matriz cuadrada cuya traspuesta conjugada es menos la matriz. Esto es si satisface a la relación:

A * = -A

o en su forma componente, si (A = ai,j):

Para todas las i y las j.

Ortogonal

Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible : A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.