5.6 Algebra de las transformaciones lineales

Sean podemos definir la suma de transformaciones lineales, dada por

También podemos definir la multiplicación por escalar.

Sean definamos la multiplicación por escalar de una transformación lineal, dada por

· Definición.

Un álgebra A sobre un campo F es un espacio vectorial sobre F en el que se tiene definida una operación producto que satisface para todos los elementos T1, T2, T3 A y F:

· T1(T2+T3)=T1T2+T1T3

· (T2+T3)T1=T2T1+T3T1

· (T1T2)=(T1)T2=T1(T2)

· Si además se cumple que

· (T1T2)T3=T1(T2T3)

· entonces A es un álgebra asociativa

· Definición.

Sean V, U y W espacios vectoriales sobre el mismo campo F. Sean T1: VU y T2: UW dos transformaciones lineales.

· Se define la composición de T2 seguida de T1 T2T1 como la función de V a W (T2T1) :VW tal que (T2T1)(v)=T2(T1(v))

· Proposición. Si T1 y T2 son TL, entonces T2T1 también lo es.

· Demo. Sean u,v V y , F, entonces

· (T2T1)(v+u)=T2(T1(v+u))=T2(T1(v)+T1(u))

· = (T2T1)(v)+(T2T1)(u)

· (T2T1) es T.L.

· Puede verse que Hom(V,V) con la composición es un álgebra asociativa.