3.8 Solución de un sistema de ecuaciones lineales a través de la adjunta

Sea A una matriz cuadrada no singular, es decir, que su determinante sea diferente de cero, Por definición de matriz inversa, se tiene que es la inversa de Asi: Haciendo y sustituyendo en la ecuación anterior, se obtiene

A X=(14)

Puede considerarse que esta ecuación matricial representa un sistema de ecuaciones simultáneas, en donde no hay un solo vector de términos independientes sino n, los n vectores básicos que forman la matriz unitaria I. Además, no existe un solo vector de incógnitas, sino n, los que corresponden a cada columna de la matriz unitaria. Por lo anterior, es posible determinar la inversa de una matriz con el método de Gauss-Jordan de eliminación completa. Para lograrlo, bastará con aplicar las operaciones elementales sobre los renglones de la matriz ampliada (A, I) de manera de transformar A en I. Cuando se haya hecho, se obtendrá la matriz ampliada con lo que se tendrá la inversa buscada.

EJEMPLO

Invertir la matriz

Auméntese la matriz de coeficientes con una matriz identidad

Usando a11 como pivote, el renglón 1 se normaliza y se usa para eliminar a X1 de los otros renglones.

En seguida, se usa a22 como pivote y X2 se elimina de los otros renglones.




Finalmente, se usa a33 como pivote y X3 se elimina de los renglones restantes:



Por lo tanto, la inversa es:

Se puede resolver un sistema de ecuaciones con la inversa de la matriz de coeficientes, de la siguiente manera:

donde C es el vector de términos independientes.

Comparando ambos métodos, es evidente que el método de inversión de matrices no es práctico para la solución de un sólo conjunto (o dos o tres conjuntos) de ecuaciones simultáneas, porque la cantidad de cálculos que intervienen para determinar la matriz inversa es muy grande. Sin embargo, si se desea resolver 20 conjuntos de 10 ecuaciones simultáneas que difieren únicamente en sus términos independientes, una matriz aumentada que contiene 20 columnas de constantes (que se utilizarían en el método de eliminación) sería difícil de reducir, y se podría usar con ventaja el método de inversión de matrices.