viernes, 20 de noviembre de 2009


5.2 Ejemplos de transformaciones lineales (Reflexión, Dilatación, Contracción, Rotación).


Reflexión


Algunas orientaciones deseables para los objetos tridimensionales no pueden ser obtenidas usando solamente giros. Con la reflexión se consigue un efecto "espejo", de modo que los objetos se ven reflejados en un plano.

Cuando la reflexión se hace sobre uno de los planos ortogonales (x = 0, o y = 0, o bien z = 0) la matriz de transformación es sencilla, pues es similar a la matriz identidad, aunque siendo –1 el elemento que representa a la coordenada que es nula en el plano de reflexión. Así, las matrices de reflexión para los planos XY, XZ e YZ son







Cuando se quiera una reflexión sobre un plano cualquiera, el proceso se complica notablemente. La técnica utilizada es similar a la del giro sobre eje arbitrario. En este caso, inicialmente se requiere definir un punto en el plano, y la normal al plano en ese punto.

El proceso de reflexión se resume en los siguientes puntos:

Trasladar el punto establecido del plano al origen de coordenadas

Realizar los giros oportunos para hacer coincidir el vector normal al plano de reflexión con uno de los ejes de coordenadas; así el problema se reduce a una simple reflexión sobre alguno de los planos del sistema de referencia.

Por ejemplo, si el eje escogido es el Z, el plano de reflexión sería el XY.

Realizar la reflexión sobre el plano seleccionado

Aplicar las transformaciones inversas para devolver el plano de reflexión a su posición original.

La matriz neta podría ser, por ejemplo, el resultado de la composición de las matrices [M]= [T]⋅ [G ]⋅ [G ]⋅ [R ]⋅ [G ]−1 ⋅ [G ]−1 ⋅[T]−1 x y z y x , si se opta por realizar las transformaciones para alinear el vector normal con el eje Z. En tal caso, la matriz de reflexión a utilizar sería la Rz.


Rotación


Otro tipo común de transformación en el plano es la rotación o giro en torno a cualquier punto en el plano. Nos interesan principalmente las rotaciones en tormo al origen. Rotación en el plano: La transformación ����:��2→��2 se define por


y hace girar cada vector, θ rad en sentido contrario al de las manecillas del reloj en torno al origen.

Por ejemplo, calcularemos la imagen de (1,1) para ��=��/2.



Rotación en torno al origen





COMPRESIONES-EXPANSIONES

Las compresiones y expansiones son escalamientos a lo largo de los ejes coordenados. Con mas precisión: para �CC>��>0, la transformación ���� ��, =(����,��) escala las coordenadas x en un factor de c, dejando inalteradas a las coordenadas y. Si 0<��<1 se trata de una compresión en la dirección del eje x positivo. Si ��>1, se refiere a una expansión. También se tienen compresiones y expansiones a lo largo del eje y, expresadas por ���� ��, = ��,�� para ��>0.


Compresión y estiramiento a lo largo del eje x.




Otro tipo son los escalamiento simultáneos a lo largo de los ejes x y y, como ������ ��, = ����,�� con factores de escala ��>0 y ��>0 a lo largo de las direcciones x y y.


Escalamiento a lo largo de los ejes x y y.





Tanto ���� como ���� y ������ son transformaciones matriciales, con sus respectivas matrices




CORTES


Un corte o deslizamiento a lo largo del eje x es una transformación de la forma ���� ��,�� =(��+����,��)


En otras palabras, cada punto se mueve a lo largo de la dirección x una cantidad proporcional a la distancia al eje x. También hay cortes a lo largo del eje y:

���� ��,�� =(��,����+��)


���� y ���� son transformaciones matriciales cuyas matrices son



Deslizamiento a lo largo del eje x.







29 comentarios:

  1. GRACIAS POR PUBLICAR ESTO!!! ME AYUDO MUCHO PARA MI TAREA!!!

    ResponderEliminar
  2. esta informacion me ayudo para mi tarea
    ¡¡¡¡¡¡gracias¡¡¡¡¡

    ResponderEliminar
  3. gracias por el contenido¡¡¡

    me va ser util

    ResponderEliminar
  4. que bueno gracias no sabes como me saco de apuros

    ResponderEliminar
  5. me has salvado la vida amiiga no sabes heeeee.... miil graxiiaz :)

    ResponderEliminar
  6. la gallina puso un huevo que dolor que dolor que pena

    ResponderEliminar
  7. GRACIAS POR PUBLICAR ESTA PARTE ME AYUDA MAS PARA MI TAREA DE INVESTIGACION

    ResponderEliminar
  8. ESTA SUPERR JEJEJE LE ENTIENDO POKO PERO ME AYUDA U NN BUENN EJJE ZSLAUDITOSS

    ResponderEliminar
  9. Nadamás paso para agradecer los ejemplos de tu blog, ayudan a entender mas estos conceptos :D y te animo a que sigas ayudando a nosotros el futuro de méxico ;D

    ResponderEliminar
  10. AGRADECIENDO ESTA INFORMACION LA CUAL ME SIRVIRA PARA UN MEJOR APROVECHAMIENTO Y ENTENDIMIENTO

    ResponderEliminar
  11. y los ejemplos de dilatacion y esos?? donde quedan??

    ResponderEliminar
  12. doy 2 pulgares arriba¡¡¡¡¡ ;)

    ResponderEliminar
  13. miralo y las transformaciones lineales son casi como el embarazoe eeee jejeje....

    ResponderEliminar
  14. exactamente lo q buscaba muchas gracias!!!!!!!

    ResponderEliminar
  15. muxas grax..m ayudo en mi investigacion..solo una pregunta...dilatacion y contraccion..es eso d...compresiones- expresiones.??...saludiitoz..

    ResponderEliminar
  16. gracias, muchas gracias, mil gracias, y todos aquellos que les sirvio la infotrmacion, que bueno saber que esta valiosa informacion dles sirvio....

    ResponderEliminar
  17. olaa muchas gracias!!! me sirvio muchoo!! solo k me gustaria saber de k libro en especifico esta la infromacion!!1

    ResponderEliminar
  18. grax super bien los dibujos

    ResponderEliminar
  19. ghracias es verdaderamente importante su informacion

    ResponderEliminar
  20. wua me haz salvado... adoro este blog

    ResponderEliminar
  21. ps muxas gracias... C:

    ResponderEliminar
  22. muchas gracias por la informacion... solo que les falto dilatacion.

    ResponderEliminar
  23. si de hecho! solo les falto dilatacion pero de todos modos gracias

    ResponderEliminar
  24. muy buen aporte me ayudo en mi examen especial gracias!!! muy linda sureyma lastima que no hay manera de poderte conocer. pero gracias por el aporte...

    ResponderEliminar
  25. si muchas gracias saludos desde el planeta jupiter hahah ..mentira de Peru XD..HAHAHA..!

    ResponderEliminar