5.5 Transformaciones y sistemas de ecuaciones lineales

Teorema sobre transformaciones de renglones de matrices.

Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, resulta una matriz de un sistema equivalente si:

a) Se intercambian dos renglones. Símbolo: Ri Rj.

b) Se multiplica o divide un renglón por una constante diferente de cero. Símbolo: kRiRi.

c) Un múltiplo constante de un renglón se suma a otro renglón. Símbolo: kRi + Rj + Rj.

Uso de matrices para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Ejemplo.

Resuelve el sistema:

x + 2y + 3z = 9

4x + 5y + 6z = 24

3x + y - 2z = 4

Comenzaremos con la matriz del sistema, es decir, la matriz aumentada:

Luego aplicamos transformaciones elementales de renglón a fin de obtener otra matriz (más sencilla) de un sistema de ecuaciones equivalentes. Pondremos símbolos adecuados entre matrices equivalentes.

Con la matriz final regresamos al sistema de ecuaciones:

Que equivale al sistema original. La solución x = 4, y = -2, z = 3 se puede encontrar ahora por sustitución.

La matriz final de la solución es una forma escalonada.

En general, una matriz está en forma escalonada si satisface estas condiciones:

a) El primer número diferente de cero de cada renglón, leyendo de izquierda a derecha, es 1.

b) La columna que contenga el primer número diferente de cero en cualquier renglón está a la izquierda de la columna con el primer número distinto de cero del renglón de abajo.

c) Los renglones formados enteramente de ceros pueden aparecer en la parte inferior de la matriz.

Ejemplo:

Sea la matriz:

, es "una matriz escalonada"

Guías para hallar la forma escalonada de una matriz.

(a) Localizar la primer columna que contenga elementos diferentes de cero y aplicar transformaciones elementales de renglón a fin de obtener 1 en el primer renglón de esa columna.

(b) Aplicar transformaciones elementales de renglón del tipo kR1 + Rj Rj. para j > 1 y obtener 0 bajo el número 1 obtenido en la guía (a) en cada uno de los renglones restantes.

(c) Hacer caso omiso del primer renglón. Localizar la próxima columna que contenga elementos diferentes de cero y aplicar transformaciones elementales de renglón con objeto de obtener el número 1 en el segundo renglón de esa columna.

(d) Aplicar transformaciones elementales del tipo kR2 + Rj

Rj. para j >2 y obtener 0 bajo el número 1 obtenido en la guía (c) en cada uno de los renglones restantes.

(e) Hacer caso omiso del primer y segundo renglones. Localizar la siguiente columna que contenga elementos diferentes de cero y repetir el procedimiento.

(f) Continuar el proceso hasta alcanzar la forma escalonada.

Uso de la forma escalonada para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Ejemplo:

Resuelve el sistema:

Solución: Comenzamos con la matriz aumentada y luego obtenemos una forma escalonada, según se describe en las guías.

La matriz final está en forma escalonada y corresponde a un sistema de ecuaciones:

<=>

Ahora usamos sustitución a fin de hallar la solución. De la última ecuación vemos que w = -1; de la tercera ecuación vemos que z= -2 . Sustituimos en la segunda ecuación, y obtenemos:

y - 2z - w = 6

y - 2(-2) - (-1) = 6

y + 4 + 1 = 6

y = 1

Sustituimos los valores encontrados en la primera ecuación:

x + z + 2w = -3

x + (-2) + 2(-1) = -3

x - 2 - 2 = -3

x = 1

Por lo tanto, el sistema tiene una solución: x = 1, y = 1, z = -2, w = -1.