viernes, 20 de noviembre de 2009


5.3 Definición de nucleo o kernel, e imagen de una transformación lineal


Definiciones


*      Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo K y T una transformación lineal de V en W. El núcleo o kernel de T es:
 
N ( T )  ( Ker T )   =   { v Î V  :  T ( v )  =  0 w }

Si T: V -> W es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:




Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

  • El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:

1.- dado que T(0V) = 0W

2.- Dados

3.- Dados


Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo. Nulidad (T) = dim (Nu (T))



O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.

La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.

El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

rg(T) = dim(Im(T))


* Sea T:V->W una transformación lineal de V en W; se define el núcleo de T como



Nótese que N(T) es un subespacio de V. Por otro lado, se define la imagen de T como



Im(T)es un subespacio de W. Si A es un subespacio de V y B es un subespacio de W, entonces los conjuntos


Son subespacios de W y V respectivamente. Obsérvese que N(T)=T-1(0) , e Im(T)=T(V). La dimensión del espacio imagen Im(T)se conoce como el rango de la transformación T , y se denota por rank(T).



1 comentario:

  1. Hola, en primera muy buen post. Pero quiero preguntarte de que libro sacaste toda la información y de que autor ?.! Me seria muy útil esa respuesta. Gracias.

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